什么是量子力学中的概率问题？如何反映在数学形式中？-概率经过一点多少路

文|卑微的小书丁

编辑|卑微的小书丁

前言

概率在量子力学理论体系中占据着极为重要的地位

，玻恩于1926年提出的几率诠释，即归一化的波函数的平方模量是系统出现对应态的概率。

使量子力学的数学体系得以和物理事实相联系，

量子力学的理论因此才能够得到实验的直接证明，并充分的实现其作为理论体系的解释和预测的功能。

几率诠释不仅能够解释许多量子力学实验的现象，还能直接推导出许多已经被广为接受的数学方程，它为波函数的物理意义给出了一个可理解的回答，也

极大的推动了量子力学后续的发展。

但是不容否认的是，这一量子态和物理现象之间的概率性关系的建立也为量子力学带来了一个全新的、也是极为严重的问题：

概率问题，这一玻恩量子概率违背经典概率演算的问题对于量子理论而言有非同一般的意义，但尚未具体了解概率问题的确切定义和具体表现。

本文将试图尽可能简单清晰的陈述这一问题到底是什么，

这一问题是如何反映在某些有代表性的物理实例上的，又是如何反映在数学形式中的

，以及对这一问题我们应当作何种理解，可能有哪些方式能对这个问题的解决提供帮助。

双缝实验和概率疑难

费曼曾清晰明了的说明何为量子力学中的概率问题，他以

单电子双缝干涉实验这一构想出的实验

，第一次单独将概率问题作为一个疑难或者悖论提出，开启了这一研究方向。

该实验如下图，

从A处有由S制备的具有一样能量的电子，从各个方向射向C，C处有一组双缝，B屏上有探测器记录每个到达的电子，以及它们距离屏中间的距离x。

如果S发射电子的间隔足够长，那么B上探测器的记录将会是

明确的一一分立的

，如果B上的探测器布满整个屏但又足够敏感，那么每次电子到达也

只会有一个探测器探测到

它并作出记录。

也就是说，

可以将这一实验理解为一个一个粒子性的电子从A到C的运动过程。

如果测量这个实验中对于不同的位置x，每秒探测到的到达电子数量，我们会得到上图（a），

表示着到达电子数量关于到达位置x的函数，或者说，电子到达相对于到达位置x的条件概率P（x）。

这一图像有多个最大值和最小值，

它和光的双缝干涉条纹具有同样的模式

。

如果我们在同样的实验设置下，关闭缝2保留缝1，那么我们会得到如图（b），如果关闭缝1保留缝2，则会得到如图（c）。

显然，

将到达数量关于位置x的函数转化为到达关于位置x的条件概率需要经过归一化，但不论横轴是P（x）还是Fa（x），都不影响图样的模式

，故费曼并未作出特别的说明。

假设，到达屏B上距中心x位置的每个电子，要么穿过了缝1，要么穿过了缝2，那么我们很容易以此推出，

电子到达x位置的概率，等于电子穿过缝1到达x位置的概率，加上电子穿过缝2到达x位置的概率，即：P(x)=P1(x)+P2(x)

。

而

P1(x)和P2(x)显然可以通过上述稍作调整的实验得到

，也就是说，P(x)≠P1(x)+P2(x)。

按照费曼的观点，

如果考虑电子的波动性，用通常表示波的复数形式来计算P(x)的话

，P(x)是某个复函数ϕ(x)的平方模，ϕ(x)是作为波的电子到达x位置的几率幅,ϕ(x)则由两个部分叠加而成：穿过缝1的波提供的ϕ1(x)和穿过缝2的波提供的ϕ2(x),也就是:

这就出现了明显的矛盾,很显然，

以波的方式计算出的概率分布是符合实验事实的

，而较早的计算得到的结果是不符合实验事实的,然而这一似乎有问题的计算概率的方式，却并没有明显违背概率演算规则的地方。

这就是所谓的量子力学中的概率问题，

它如此显眼的出现在电子的双缝干涉这一通常作为测量问题的最简单示例的实验中

。

为了使这一问题更为明确，我们

进一步细致的分析上述有问题的计算过程

，看看它到底涉及了哪些预设和方法，以及它们中的哪一个可能是带来矛盾的原因。

概率的可加性原则(Add)

：如果A和B是相互独立的，那么P(A∨B)=P(A)+P(B)，令A为电子经过缝1到达B屏x处，令B为电子经过缝2到达B屏x处，则A∨B为电子或者经过缝1或者经过缝2到达B屏x处。

如果一个到达B屏x处的电子，要么经过缝1，要么经过缝2，那

么它到达B屏x处的概率是P(A∨B)，如果A和B是独立事件，按照可加性原则，P(A∨B)=P(A)+P(B)。

因此，一个要么经过缝1，要么经过缝2到达B屏的电子，

其概率关于x的分布会如经过缝1到达电子关于x的分布和经过缝2到达电子关于x的分布的叠加

，因为对于每个x都有P(A∨B)=P(A)+P(B)。

很显然，这一推论过程不可避免的产生了两个问题，

必须预设A和B是独立事件，概率分布P(A∨B)必须是归一的

。

基于对电子的双缝实验的分析，可以对量子力学中的概率问题作初步判断，

存在一些量子事件，它们之间的概率如果使用经典概率的方式来理解和计算，就会出现矛盾。

这一矛盾既有可能是由于我们对量子事件的经典理解有误，也有可能是由于经典概率演算的规则不适用于量子事件。

量子概率演算与贝叶斯定理的失效

对于双缝干涉实验，费曼曾提到，双缝干涉实验的设计能够涵盖量子力学的所有未解之谜，阿卡迪也认同这一点，并基于对双缝干涉实验悖论性结果的推导过程的详细分析，

指出了量子力学的不同解释路径是通过拒斥其中的哪部分推理过程来回避这一悖论的。

然而，他自己却并不认同这些以往的处理，而是通过拒斥概率演算中的重要定理——

贝叶斯定理

，或在这一推论过程中与其等价的全概率定理——来解决这一问题。

上述推论过程可以分解为五个步骤

，令1表示事件电子穿过缝1，令2表示事件电子穿过缝2，令X表示事件电子落在屏B上X处。

步骤一，

如果一个电子击中了屏B，那么它至少穿过了缝1和缝2其中之一，表示为1∨2=I（事件总是实现的），一个电子能且只能穿过一个缝表示为1∧2=∅（不可能的事件）。

步骤二，根据经典亚里士多德逻辑规则，可以从上述二式分别得到X∧I=X，故X∧(1∨2)=X，故X=(X∧1)∨(X∧2),X∧∅=∅，故X∧(1∧2)=∅，∅=(X∧1)∧(X∧2),这也就意味着

到达B屏X处的电子经过且只经过了缝1或缝2其中之一。

步骤三,根据概率的可加性原则(Add),如果

A和B是相互独立的

，那么P(A∨B)=P(A)+P(B)以及步骤二的结论（即X∧1和X∧2对于X是互斥且穷举的），有P(X)=P(X∧1)+P(X∧2)。

步骤四，

联合概率P(X∧j)(j=1,2)和条件概率P(X|j)通过贝叶斯定理相关联

：

步骤五,由步骤三和四的结论可以推出：P(X)=P(1)P(x/1)+P(2)P(x/2),这一步是

不需要任何额外预设的数学推论，并且推出的结论正是全概率定理在这一问题中的

。

由于步骤五得到的

结论和实验事实是不相符的

，所以任何一种量子力学解释在解释双缝干涉这一实验时都必须至少拒斥这五个步骤（实际上是前四个步骤）中的一个。

如果我们接受了步骤一和步骤二，以及对概率的频率解释，那么

所有落在屏B上的电子都可以分为两类，穿过缝1的和穿过缝2的，故对于落在X位置的电子而言

，也有：

故有步骤三的结论，因此

步骤三可以看作是步骤一、步骤二和频率解释共同蕴涵的推论。

将图（b）和图（c）直接相加是

不符合概率守恒归一原则的

，故不能认为（b）（c）两图直接提供了P(X∧1)和P(X∧2)，并在步骤三直接相加。

毕竟

“仅打开缝1时电子关于位置的概率分布”并不等同于“双缝同时打开时穿过缝1的电子关于位置的概率分布”

。

而

两者如果等同并叠加

，其结果无异于一一确认了每个电子通过哪个缝状态下的测量，其结果一定是图中（d）的样式。

如果将图（b）（c）提供的概率分布间接的考虑为“在穿过缝1的条件下，电子关于位置的概率分布”，则可以

通过贝叶斯定理间接的但更为准确的提供计算最终概率分布P(X)的数据。

以这一思路重述实验提供的概率分布，

在步骤三的结论P(X)=P(X∧1)+P(X∧2)的基础上，还需要计算P(X∧1)和P(X∧2)才能完成等式

,根据贝叶斯定理：

而贝叶斯定理能够计算的条件是P(X∧j)和P(j)(j=1,2)要为正实数

,不仅如此，按照之前几个步骤的结论，它们还必须满足：

很显然，这一等式组有解的条件，即能够给出一组满足这一等式组的正实数P(1)，P(2)，P(X∧1)，P(X∧2)的条件，依赖于P(X)，P(X|1)，P(X|2)数值的给定。

容易计算出该条件为

：

而

P(X)，P(X|1)，P(X|2)正是这一实验设置能够提供给我们的实验结果

,而在后续的一系列实验中，已经明确的得到了违背这一不等式的数据。

也就是说，在这里，

贝叶斯定理的不能生效

，或者说传统的经典概率演算系统对于量子力学领域中的变量的不适用，是一个基本的数学上的困难,因此量子力学中的概率问题不仅仅是一个需要被解释的疑难，而是一个需要被解决的数学上的困难甚至错误。

约翰贝尔基于EPR悖论推导出的著名的贝尔不等式，结合EPR实验的实验数据，也以类似的方式指出了这一问题,有理由认为，这种贝尔式不等式所带来的类似问题存在于量子力学的各个方面，而

以这种形式呈现的概率问题是量子力学诸多疑难和困境背后的原因。

EPR-贝尔悖论、贝尔-布尔不等式和联合概率分布

EPR悖论在量子力学理论的发展历程中有着重要的地位，EPR考察一对相隔极远但是处于高度纠缠状态的微观粒子，

认为对它们中的一个进行测量时会产生和当时广为接受的定域实在论严重冲突的情况，并由此质疑量子力学的完备性

。

在

量子力学理论初步达到数学形式体系的完成

，转向对相关物理问题的解释和哲学问题的讨论的历史阶段中，EPR问题留下了浓墨重彩且影响深远的一道痕迹。

然而，

由于EPR悖论的原始形式中所要求的被测量量是动量这一连续变量，真正针对EPR悖论设计EPR实验在当时困难重重

，能够进行的相关工作更多的是围绕由玻姆调整过的EPR-Bohm悖论，将被测量量从连续的动量转为不连续的自旋。

玻姆接受EPR在文末提出的通过隐变量补完量子力学的建议，尝试性的给出了一套方案，然而，1964年贝尔（J.S.Bell）横空出世，

导出了著名的贝尔不等式，也就是相容于定域实在性和量子力学的隐变量理论的存在条件，这就构成了更强有力也更具有可操作性的EPR-贝尔悖论。

早在贝尔不等式提出一百多年前，乔治布尔提出并研究了一个问题：在任意三个随机变量之间建立起联合概率分布总是可能的吗？

为了解决这个问题，布尔导出了一个不等式，

只要这一不等式被违背，就意味着在这一组三个变量间建立一个联合概率分布是不可能的。

类似的，对于任意确定数量的变量，也有对应的不等式给出联合概率分布的条件，所有这样的

不等式统称为“布尔式”不等式，它们实际上标定着一组任意数量的变量能够建立一个联合概率分布的条件。

在贝尔不等式的推导过程中，明确的预设了在一组量子变量之间能够建立一个联合概率分布，而这一预设必然会导出一个类似于布尔不等式的不等式作为其满足的条件，因此，数学家们认为，

贝尔不等式实质上是贝尔-布尔不等式

。

这一不等式反映的实质上是量子变量之间建立联合概率分布的条件，是将

“联合概率分布”这一数学工具应用在这一问题上的许可性条件

，而非隐变量理论、定域性或是实在性和量子力学相容的条件。

考虑一对处于纠缠态的粒子（例如，一个自旋为0的母粒子分裂成的两个子粒子），

它们各自具有自旋，它们被制备出来后向着相反的方向自由运动，并保持纠缠态

。

我们可以测量它们某一方向上的自旋，假设得到的结果是+1，那么

按照量子力学的理论

，再测量自旋值必然会得到结果-1。

那么假如这两次测量发生的地点相互之间间隔足够远，而测量的时间间隔足够近，那么在它们之间似乎不可能发生相互作用，因为

任何相互作用发生的速度都不能超过光速

。

由于量子力学本身无法单独给出对第二次测量的确定结果的预测，因此

需要一个量子力学中没有的量来完成对第二次测量结果的预先确定

。

假设这个量子力学中没有的量为λ，一个连续的单独的变量，那么，测

量自旋值的结果A一定可以被确定

，即：

令P(λ)为λ的概率分布，

那么对测量结果A和对测量结果B的乘积的期望可以表示为

：

对于另一个任意单位向量的转变就是

著名的贝尔不等式

。

在整个证明过程中，实际上有以下隐藏的预设，

在三个变量之间，可以定义一个柯尔莫哥洛夫式的联合概率分布，即存在概率分布

：

隐变量λ取某一特定值的概率，等于粒子1任意三个方向上的自旋在此条件下取对应结果的概率，进一步的，可以说

就是当隐变量λ取某一特定值时，粒子1任意方向上的自旋都确定为它所对应的结果。

笔者观点

笔者认为，通过对量子力学中概率问题的了解和探究，不仅有助于今后彻底解决概率问题，而且对量子力学谜团在很大程度上的被破解做出了贡献，

对于概率理论和量子力学理论有着更深处的迈进，覆盖在概率问题上的迷雾很有可能能够得到破解。

而将概率理论和量子力学理论的结合理论推到某种极致时，可能会产生的现象和结论带来了更多的启发，

不仅是对于量子力学中的概率问题，还可能影响量子世界甚至更多领域的探索。

参考文献

[1]成素梅.量子纠缠引发的哲学问题.社会科学,2014.

[2]贺天平.量子力学多世界解释的哲学审视.中国社会科学,2012.

[3]李继堂.从量子力学解释到量子场论解释.科学技术哲学研究,2017.

[4]谭天荣.经典概率论与贝尔定理.青岛大学学报(自然科学),2002.

[5]万子谦,万小龙.量子力学多世界解释中的概率问题.自然辩证法研,2019.

隔音门窗十大品牌排行

欧大师铝合金门窗代理

欧大师断桥铝合金门窗

相关内容